terça-feira, 5 de outubro de 2010
sexta-feira, 1 de outubro de 2010
Atribuindo um sentido informal à matemática formal
Parodia criada pelo professor de Matemática CiceroCiceroMat
3 anos atrás
Ulê, lê, lê, lê...
O seno de um ângulo no triângulo (retângulo) é o cateto oposto ao ângulo sobre a hipotenusa. Esta é a razão do seno.
O cosseno de um ângulo no triângulo (retângulo) é o cateto adjacente ao ângulo sobre a hipotenusa. Esta é a razão do cosseno.
Na trigonometria o seno e o cosseno vão se relacionar com a equação seno ao quadado mais cosseno ao quadrado é sempre igual a 1, é igual a 1.
http://www.youtube.com/watch?v=jcB-_Tsk1Xc
3 anos atrás
Ulê, lê, lê, lê...
O seno de um ângulo no triângulo (retângulo) é o cateto oposto ao ângulo sobre a hipotenusa. Esta é a razão do seno.
O cosseno de um ângulo no triângulo (retângulo) é o cateto adjacente ao ângulo sobre a hipotenusa. Esta é a razão do cosseno.
Na trigonometria o seno e o cosseno vão se relacionar com a equação seno ao quadado mais cosseno ao quadrado é sempre igual a 1, é igual a 1.
http://www.youtube.com/watch?v=jcB-_Tsk1Xc
Exemplos práticos da aplicação das Funções Trigonométricas
Aplicação na Medicina
1-Folha de S.Paulo-09/10/2007- Fovest pág.06
Trigonometria de olho na sua pressão
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO - ESPECIAL PARA A FOLHA
A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em triângulos (trigon). De fato, a trigonometria se ocupa dos métodos de resolução de triângulos, contudo, seu campo de estudo também abrange a investigação e uso das funções trigonométricas. Veremos a seguir uma aplicação desse nobre uso da trigonometria.
Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser modelados com auxílio de funções trigonométricas, daí a enorme aplicação do estudo desse conteúdo em campos da ciência como acústica, astronomia, economia, engenharia, medicina etc.
Um exemplo de relação que pode ser modelada por uma função trigonométrica é a variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. O gráfico indicado abaixo representa uma investigação desse tipo onde se analisa a situação clínica de um paciente, sendo P a pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) e t o tempo (em segundos).
Em geral, a pressão indicada no gráfico obedece um ciclo, sendo que cada ciclo completo equivale a um batimento cardíaco. Note por meio do gráfico que ocorre um ciclo completo a cada 0,75 segundos, o que implica dizer que a frequência cardíaca do indivíduo avaliado é de 80 batimentos por minuto.
Usando a função cosseno para modelar a regularidade retratada pelos dados, podemos encontrar sua formulação a partir do gráfico.
Sabendo que a função f(t)=cos t tem domínio real e imagem [-1,1], as transformações do seu gráfico necessárias para que ele modele os dados do nosso problema são: 1) modificação do período de 200 para 800/3, gerando a função f(t)= cos (800t/3); 2) reflexão de f pelo eixo t, gerando a função f(t)=-cos (800t/3); 3) modificação da imagem para -20,20], gerando f(t)=-20cos (800t/3); 4) translação vertical do gráfico de 100 unidades, gerando a função final f(t)=100-20cos (800t/3).Usando essa função, podemos encontrar, por exemplo, a pressão após 2 segundos calculando o valor de f(2), que você poderá fazer como exercício (resposta: 110 mmHg).
O ciclo menstrual das mulheres.
As diversas fases são determinadas pela quantidade de vários hormônios no corpo. A figura ao lado mostra os níveis dos hormônios estrógeno e progesterona durante os ciclos.
Note que o nível dos hormônios em função do tempo é periódico.
O fenômeno das Marés
A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra-lua-sol e rotação da Terra em torno de seu eixo são os principais fatores responsáveis pela ocorrência do fenômeno das marés, no qual as águas do mar atingem limites máximos e mínimos com determinada regularidade. As atrações gravitacionais do Sol e da Lua sobre a Terra causam, em geral, duas marés altas por dias em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 hora. De fato, se for observada uma maré alta às 10 horas da manhã, por. ex., a próxima maré ocorrerá por volta de 22h12, ou seja, cerca de 12 min. além das 12 horas de diferença.
O subir e descer das marés é registrado por um medida de comprimento relativa ás alturas. Em intervalo de 12 horas como neste exemplo:
1-Folha de S.Paulo-09/10/2007- Fovest pág.06
Trigonometria de olho na sua pressão
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO - ESPECIAL PARA A FOLHA
A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em triângulos (trigon). De fato, a trigonometria se ocupa dos métodos de resolução de triângulos, contudo, seu campo de estudo também abrange a investigação e uso das funções trigonométricas. Veremos a seguir uma aplicação desse nobre uso da trigonometria.
Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser modelados com auxílio de funções trigonométricas, daí a enorme aplicação do estudo desse conteúdo em campos da ciência como acústica, astronomia, economia, engenharia, medicina etc.
Um exemplo de relação que pode ser modelada por uma função trigonométrica é a variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. O gráfico indicado abaixo representa uma investigação desse tipo onde se analisa a situação clínica de um paciente, sendo P a pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) e t o tempo (em segundos).
Em geral, a pressão indicada no gráfico obedece um ciclo, sendo que cada ciclo completo equivale a um batimento cardíaco. Note por meio do gráfico que ocorre um ciclo completo a cada 0,75 segundos, o que implica dizer que a frequência cardíaca do indivíduo avaliado é de 80 batimentos por minuto.
Usando a função cosseno para modelar a regularidade retratada pelos dados, podemos encontrar sua formulação a partir do gráfico.
Sabendo que a função f(t)=cos t tem domínio real e imagem [-1,1], as transformações do seu gráfico necessárias para que ele modele os dados do nosso problema são: 1) modificação do período de 200 para 800/3, gerando a função f(t)= cos (800t/3); 2) reflexão de f pelo eixo t, gerando a função f(t)=-cos (800t/3); 3) modificação da imagem para -20,20], gerando f(t)=-20cos (800t/3); 4) translação vertical do gráfico de 100 unidades, gerando a função final f(t)=100-20cos (800t/3).Usando essa função, podemos encontrar, por exemplo, a pressão após 2 segundos calculando o valor de f(2), que você poderá fazer como exercício (resposta: 110 mmHg).
O ciclo menstrual das mulheres.
As diversas fases são determinadas pela quantidade de vários hormônios no corpo. A figura ao lado mostra os níveis dos hormônios estrógeno e progesterona durante os ciclos.
Note que o nível dos hormônios em função do tempo é periódico.
O fenômeno das Marés
A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra-lua-sol e rotação da Terra em torno de seu eixo são os principais fatores responsáveis pela ocorrência do fenômeno das marés, no qual as águas do mar atingem limites máximos e mínimos com determinada regularidade. As atrações gravitacionais do Sol e da Lua sobre a Terra causam, em geral, duas marés altas por dias em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 hora. De fato, se for observada uma maré alta às 10 horas da manhã, por. ex., a próxima maré ocorrerá por volta de 22h12, ou seja, cerca de 12 min. além das 12 horas de diferença.
O subir e descer das marés é registrado por um medida de comprimento relativa ás alturas. Em intervalo de 12 horas como neste exemplo:
Um Pouco de História...
A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulo e METRIEN - medida, significando Medida de Triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.
A origem da Trigonometria é anterior à era cristã.
Apesar dos egípcios e dos babilónios terem já utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi o fascínio pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria aparece bastante cedo associada à Astronomia.
No séc. V a.C., estudaram-se relações entre arcos de circunferência e respectivas cordas, um passo importante para a Trigonometria.
A palavra corda, quando usada em Matemática, refere-se a segmento de recta que une dois pontos situados sobre um círculo palavra corda, quando usada em Matemática, refere-se a segmento de recta que une dois pontos situados sobre um círculo
Arquimedes
No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa na sequência do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.
As medições e os resultados dos cálculos efectuados pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.
A função corda foi a única função trigonométrica introduzida por Hiparcus no séc. II a.C.. E repare-se como é semelhante à função seno: corda(A)=2rsen(A/2), sendo r o raio do círculo e A um ângulo de vértice no centro do círculo para expressar os valores da função corda. O valor da corda depende do raio do círculo usado, esse círculo era o que circunscrevia o triângulo a resolver. Actualmente, usa-se o seno em vez de corda, apesar de estas serem talvez mais intuitivas. Foi construída usando como medida os degraus, cada degrau correspondia a 1/24 avos de um círculo.
É a Hiparcus de Nicaea (séc. II a.C.) que se atribuem as primeiras tábuas trigonométricas sendo considerado o pai da Trigonometria.
Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescentes, desde 0º até 180º, em intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções.
Ptolomeu
Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina. No Almagesto compilou os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes trouxeram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha.
A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse apli cada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.
Na Europa medieval, devido a razões político - religiosas, a Ciência poucoevoluiu. É no séc. XV com Johannes Muller Regiomontano,e o seu trabalho De Triangulis Omnimodis Libri Quinque, a Trigonometria liberta-se da Astronomia.
O recurso sistemático ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes.
Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar sistematicamente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas.
A Trigonometria necessita da Aritmética para estabelecer as tabelas, da Álgebra para estabelecer as fórmulas, e da Geometria, embora tenha tido um desenvolvimento mais tardio que esta.
Em particular, o que distingue a trigonometria da restante geometria, é o facto de "ela medir ângulos". Toda a geometria lida com ângulos, mas fora da trigonometria, são comparados, somados, subtraídos, não sendo normalmente medidos.
O primeiro indício do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quandoRoberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado.
As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relaciona medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados.
Actualmente, as funções trigonométricas são definidas usando o círculo trigonométrico unitário, obviamente, isso não diminui o uso de fracções, mas a nossa notação decimal, diferente da dos gregos, torna o seu uso mais simples.
A origem da Trigonometria é anterior à era cristã.
Apesar dos egípcios e dos babilónios terem já utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi o fascínio pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria aparece bastante cedo associada à Astronomia.
No séc. V a.C., estudaram-se relações entre arcos de circunferência e respectivas cordas, um passo importante para a Trigonometria.
A palavra corda, quando usada em Matemática, refere-se a segmento de recta que une dois pontos situados sobre um círculo palavra corda, quando usada em Matemática, refere-se a segmento de recta que une dois pontos situados sobre um círculo
Arquimedes
No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa na sequência do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.
As medições e os resultados dos cálculos efectuados pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.
A função corda foi a única função trigonométrica introduzida por Hiparcus no séc. II a.C.. E repare-se como é semelhante à função seno: corda(A)=2rsen(A/2), sendo r o raio do círculo e A um ângulo de vértice no centro do círculo para expressar os valores da função corda. O valor da corda depende do raio do círculo usado, esse círculo era o que circunscrevia o triângulo a resolver. Actualmente, usa-se o seno em vez de corda, apesar de estas serem talvez mais intuitivas. Foi construída usando como medida os degraus, cada degrau correspondia a 1/24 avos de um círculo.
É a Hiparcus de Nicaea (séc. II a.C.) que se atribuem as primeiras tábuas trigonométricas sendo considerado o pai da Trigonometria.
Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescentes, desde 0º até 180º, em intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções.
Ptolomeu
Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina. No Almagesto compilou os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes trouxeram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha.
A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse apli cada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.
Na Europa medieval, devido a razões político - religiosas, a Ciência poucoevoluiu. É no séc. XV com Johannes Muller Regiomontano,e o seu trabalho De Triangulis Omnimodis Libri Quinque, a Trigonometria liberta-se da Astronomia.
O recurso sistemático ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes.
Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar sistematicamente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas.
A Trigonometria necessita da Aritmética para estabelecer as tabelas, da Álgebra para estabelecer as fórmulas, e da Geometria, embora tenha tido um desenvolvimento mais tardio que esta.
Em particular, o que distingue a trigonometria da restante geometria, é o facto de "ela medir ângulos". Toda a geometria lida com ângulos, mas fora da trigonometria, são comparados, somados, subtraídos, não sendo normalmente medidos.
O primeiro indício do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quandoRoberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado.
As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relaciona medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados.
Actualmente, as funções trigonométricas são definidas usando o círculo trigonométrico unitário, obviamente, isso não diminui o uso de fracções, mas a nossa notação decimal, diferente da dos gregos, torna o seu uso mais simples.
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